“Incluidos los problemas de frontera libre y la ecuación de Monge-Ampère».
Las ecuaciones diferenciales son herramientas que los científicos utilizan para predecir el comportamiento del mundo físico. Estas
ecuaciones relacionan una o más funciones desconocidas y sus derivadas. Las funciones representan generalmente cantidades físicas, las
derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define la relación entre las dos.
Tales relaciones son corrientes, por lo cual, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel de primer orden en numerosas disciplinas, entre las que se incluyen la física, la economía y la biología.
Las ecuaciones diferenciales parciales aparecen naturalmente como leyes de la naturaleza para describir fenómenos tan diferentes como el fluir
del agua o el crecimiento de las poblaciones.
Estas ecuaciones han sido objeto constante de intenso estudio desde la época de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos sustanciales por parte de numerosos matemáticos durante siglos, las cuestiones fundamentales relativas a la existencia, singularidad, regularidad y estabilidad de las soluciones de algunas de las ecuaciones clave siguen sin resolverse.
Resultados técnicamente virtuosos
Pocos otros matemáticos vivos han contribuido tanto a nuestra comprensión de las ecuaciones diferenciales parciales como el argentino-estadounidense
Luis Caffarelli. Él ha introducido nuevas e ingeniosas técnicas, ha dado pruebas de un brillante conocimiento geométrico y ha aportado muchos resultados fundamentales.
Durante un período de más de 40 años, ha hecho contribuciones innovadoras a la teoría de la regularidad. La regularidad – o suavidad – de las
soluciones es esencial en los cálculos numéricos y la ausencia de regularidad mide la salvajez con que naturaleza puede comportarse.
«Los teoremas de Caffarelli han cambiado radicalmente nuestra comprensión de las clases de ecuaciones diferenciales parciales no lineales
con amplias aplicaciones. Sus resultados son técnicamente virtuosos y cubren muchas áreas diferentes de las matemáticas y sus aplicaciones»,
dice el presidente del Comité del Premio Abel, Helge Holden.
El trabajo de Luis A. Caffarelli se refiere en gran parte a problemas de frontera libre. Consideremos, por ejemplo, el problema del hielo que se derrite en el agua. Aquí la frontera libre es la interfase o fase intermedia entre el agua y el hielo; es parte de lo desconocido que está por determinarse.
Otro ejemplo es el agua que se filtra a través de un material poroso; de nuevo, debe entenderse la interfase entre el agua y el medio. Caffarelli ha aportado soluciones esclarecedoras a estos problemas con aplicaciones a las interfases sólidolíquido, a los flujos de chorro y de cavitación, a los flujos de gases y líquidos en materiales porosos, así como a las matemáticas financieras.
Un impacto muy importante en el campo
Caffarelli es un matemático sumamente prolífico, que ha realizado más de 130 colaboraciones y asesorado a más de 30 estudiantes de doctorado en un periodo de 50 años.
«Al combinar su brillante conocimiento geométrico con ingeniosas herramientas analíticas y métodos, ha tenido y continúa teniendo un impacto muy importante en el campo», afirma Helge Holden.
Sobre Luis Caffarelli
Nacido en Buenos Aires, Argentina, en 1948, Caffarelli estudió Matemáticas en la Universidad de Buenos Aires. Bajo la dirección de su tutor Calixto Calderón, obtuvo el doctorado en 1972 con una tesis sobre polinomios titulada Sobre conjugación y sumabilidad de series de Jacobi. Al año siguiente viajó a los Estados Unidos para ocupar una plaza de postdoc en la Universidad de Minnesota, reuniéndose con Calderón, que había obtenido un puesto permanente en esta Universidad.
Cambio de dirección
En Minnesota, Caffarelli cambió la dirección de su investigación, después de asistir a una serie de conferencias sobre análisis armónico impartidas por Hans Lewy, matemático estadounidense retirado, nacido en Polonia. Caffarelli le pidió a Lewy indicarle algunos problemas en los que él pudiera trabajar, y Lewy le sugirió “el problema del obstáculo”, cuestión clásica del campo de la regularidad de las ecuaciones elípticas completamente no lineales, cuya motivación física es determinar la posición que adopta una membrana elástica sobre un obstáculo dado. Caffarelli tuvo que aprender el tema desde cero, y quedó ‘enganchado’.
Rápidamente, comenzó a hacer progresos sorprendentes en este tema y en el área más amplia de “problemas de frontera libre”. En 1976 publicó seis artículos y, en 1977, su primer artículo en la prestigiosa revista Acta Mathematica: The regularity of free boundaries in higher dimensions.
Paseo por Chinatown
En 1980 Caffarelli se trasladó al Instituto Courant de Ciencias Matemáticas, división independiente de la Universidad de Nueva York. Caminando un día por Chinatown con Robert Kohn y Louis Nirenberg (el ganador del Premio Abel 2015, fallecido en 2020), los tres matemáticos decidieron colaborar en un artículo sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen la dinámica de los fluidos. El resultado de esta colaboración fue Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations, artículo histórico publicado en 1982 que, más tarde, ganaría el Premio Steele 2014 de la American Mathematical Society por su importante contribución a la investigación. Cuando a Nirenberg le preguntaron más tarde qué pensaba de Caffarelli como matemático, respondió: “Tiene una intuición fantástica, es sencillamente notable … Me costó mucho seguirle el ritmo. De algún modo, ve inmediatamente cosas que los otros no ven”.
A principios de los años 80, Caffarelli gozaba ya de un alto prestigio en la comunidad matemática. Ganó el Premio Guido Stampacchia 1982, el primero de una avalancha de prestigiosos galardones.
Fue ponente en el Congreso Internacional de Matemáticos de Varsovia en 1983 y ganó el Premio Bôcher en 1984. Entre 1983 y 1986 Caffarelli fue profesor en la Universidad de Chicago, después de lo cual se trasladó durante una década al Instituto de Estudios
Avanzados de Princeton. Durante este período, centró principalmente su trabajo en torno a la ecuación de Monge-Ampère, otra conocida ecuación diferencial parcial no lineal. Desarrolló la que ahora se denomina “teoría de la regularidad de Caffarelli”, que tiene aplicaciones importantes en otras áreas, como la teoría de transporte óptimo.
Caffarelli echaba de menos su labor con estudiantes graduados, por lo que, en 1994, regresó al Instituto Courant. Ocupa desde 1997 la Cátedra Sid Richardson de la Universidad de Texas en Austin. Allí, entre otros trabajos, ha realizado interesantes
avances en la teoría de la homogeneización, campo de investigación de EDP que estudia las propiedades físicas a diferentes escalas.
Caffarelli destaca no solo por la profundidad de su trabajo, sino también por ser extraordinariamente prolífico. Ha publicado 320 artículos y, a sus 74 años, sigue publicando varios artículos todos los años. Es muy apreciado por la comunidad matemática y ha sido co-autor de artículos con más de 130 otros, siendo su colaborador más frecuente Avner Friedman. Los artículos de Caffarelli han recibido 19.000 citas, cifra que atestigua su influencia en la configuración de este campo. Ha asesorado a más de 30 estudiantes de doctorado y Alessio Figalli ganó la Medalla Fields en 2018.
